Sujet Bac Blanc Mathématiques - Bac STMG Décembre 2017

Sujet Bac Blanc Mathématiques - Bac STMG Décembre 2017

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Notre professeur vous a préparé un Bac Blanc de Maths composé de 4 exercices consacrés aux suites, au second degré, aux fonctions ainsi qu'à la dérivation.

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Sujet Bac Blanc Mathématiques - Bac STMG Décembre 2017

Le contenu du document

 

 

L’utilisation de la calculatrice est autorisée.

Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation de la copie.

 

Exercice 1 - 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève de point.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

 

Partie A

Dans cette partie, on considère la fonction f définie sur [-6;4] dont la courbe représentative Cf est donnée ci-dessous.

La droite T est la tangente à la courbe Cf au point A(-1;3). Elle passe par le point B(-2;5).

1. Le nombre dérivé de f en -1 est égal à :

a. 1/2 b. -2 c. 1

 

2. L’ensemble des solutions de l’inéquation f'(x) ≤ 0 est :

a. [-6;-3]∪[2;4] b. [-3;2] c. [-6;5,2]∪[0,5;3,2]

 

Partie B

Dans cette partie, on considère la fonction g définie sur l’intervalle [-2;5] par :

g(x) = -2x+ 3x2 + 12x

et on note g' sa fonction dérivée.

 

1. Pour tout x ∈ [-2;5].

a. g'(x) = -3x2 + 2x + 12     b. g'(x) = -6x2 + 6x + 12 c. g'(x) = -2x2 + 3x + 12

 

2. Le maximum de la fonction g sur [-2;5] est égal à :

a. 20 b. 4 c.-115

 

Exercice 2 - 6 points

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au centime d’euros.

Justine et Benjamin sont embauchés en 2014 dans la même entreprise.

1. Le salaire mensuel de Justine est de 1600 € en 2014. Son contrat d’embauche stipule que son salaire mensuel augmente chaque année de 1 % jusqu’en 2024.

On note un son salaire mensuel (en euro) pour l’année 2014+n.

a. Calculer u1 et u2.

b. Pour tout entier n compris entre 0 et 9, exprimer u(n+1) en fonction de un.

c. Déterminer l’expression de un en fonction de n pour tout entier n compris 0 et 10.

d. A partir de quelle année le salaire mensuel de Justine dépassera-t-il 1700 € ?

Justifier la réponse.

 

2. Le salaire mensuel hors prime de Benjamin est de 1450 € en 2014. Son contrat d’embauche prévoit que, jusqu’en 2024, son salaire mensuel hors prime augmente chaque année de 2 % et qu’il bénéficie en plus d’une prime mensuelle de 50 €. 

On note v0 le salaire mensuel (en euro) de Benjamin en 2014 (v0 = 1500) et, pour tout entier n ≤ 10, on note vn son salaire mensuel (en euro) pour l’année 2014+n.

a. Vérifier que v1 = 1529 et calculer v2.

b. Parmi les algorithmes suivants, un seul permet de calculer le terme d’indice n de la suite (vn).

Déterminer lequel, en expliquant la réponse.

1. a. A partir de quelle année le salaire mensuel de Benjamin dépassera-t-il 1700 € ?

b. Le salaire mensuel de Benjamin peut-il dépasser celui de Justine avant 2024 ?

Si oui, en quelle année ?

 

Exercice 3 - 6 points

En 2016, une entreprise compte produire au plus 60 000 téléphones mobiles pour la France et les vendre 

800 € l’unité. On supposera que tous les téléphones produits sont vendus. On s’intéressera dans cet exercice au bénéfice éventuel réalisé par l’entreprise. Après plusieurs études, les coûts, en euros, liés à la production, à la distribution et à la publicité, sont modélisés par :

C(x) = 0,01x2 + 250x + 2 500 000

(où x est le nombre d’exemplaires fabriqués et vendus).

 

Partie A

1. Montrer que le bénéfice, selon le nombre x d’exemplaires vendus, est défini sur [0;60000] par f(x) = -0,01x2 + 550x - 2 500 000.

2. Déterminer la fonction f' dérivée de la fonction f.

3. Donner, en justifiant votre démarche, le tableau de variation de la fonction f.

4. Combien l’entreprise doit-elle vendre de téléphones pour réaliser un bénéfice maximal ?

Calculer ce bénéfice.

5. La fonction f est représentée ci-dessous.

a. Déterminer graphiquement combien l’entreprise doit vendre de téléphones pour réaliser un bénéfice supérieur à 2 millions d’euros.

b. L’entreprise a-t-elle intérêt à produire 60 000 exemplaires en 2016 ? Justifier la réponse.

Partie B

On s’intéresse dans cette partie au bénéfice unitaire qui est modélisé par la fonction g définie sur ]0 ;60000] par g(x) = f(x)/x.

Sur un tableur, on a préparé une feuille de calcul dont on donne, ci-dessous, un aperçu :

1. Quelle formule peut-on saisir en C2 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs du bénéfice unitaire ?

2. D’après le tableau, combien d’exemplaires doit-on fabriquer et vendre pour avoir un bénéfice unitaire maximale.

 

Exercice 4 - 4 points

On s’intéresse à une modélisation de la propagation de l’épidémie de la grippe en France durant l’hiver 2014-2015.

Les relevés statistiques, fournis par le réseau Sentinelle, du nombre de cas pour 100 000 habitants sur la période du 29 décembre 2014 au 1er mars 2015 ont permis de mettre en évidence une courbe de tendance, à l’aide d’un tableur.

Soit f la fonction définie, pour tout x ∈ [2;10], par :

f(x) = -30x2 + 360x - 360

On admet que f(x) modélise le nombre de malades déclarés pour 100 000 habitants au bout de x semaines écoulées depuis le début de l’épidémie. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.

 

Partie A

A partir du graphique de l’annexe, répondre aux questions suivantes :

1. Selon ce modèle, au bout de combien de semaines le pic de l’épidémie a-t-il été atteint ?

2. Déterminer le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a été supérieur ou égal à 600. On laissera les traits de justification apparents sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.

a. Montrer que f(x) ≥ 600 équivaut à -x2 + 12x - 32 ≥ 0.

b. En déduire les solutions sur [2;10] de l’inéquation f(x) ≥ 600.

c. Comparer avec le résultat obtenu dans la question 2.

 

Partie B

1. a. Calculer f'(x), puis résoudre l’inéquation f'(x) ≥ 0 sur cet intervalle.

b. En déduire le tableau de variation de f sur l’intervalle [2;19].

2. a. Calculer le nombre dérivé de f en 3.

b. Tracer la tangente au point d’abscisse 3 dans le repère de l’annexe.

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